Question

平面幾何中有命題“正三角形內任意一點到三邊的距離之和等于定值，大小為邊長的

3

2

倍”，請你寫出此命題在立體幾何中類似的真命題

 

．

Answer 1

分析：由題意平面幾何中有命題“正三角形內任意一點到三邊的距離之和等于定值，大小為邊長的

3

2

倍，類似可以寫此命題在立體幾何中類似的真命題 正四面體內任意一點到四個面的距離之和是一個定值，大小為棱長的

6

3

倍．

解答：解：設正三角形的邊長為a，
∵正三角形內任意一點到三邊的距離之和等于定值，大小為邊長的

3

2

倍”，
∴正三角形的中心0到邊長的距離為：

1

3

×

3

2

a=

3

6

a，
∵正四面體內的底面也是正三角形，
∴正四面體側面的高為：h=

a2- a2 4

=

3

2

a，
∴正四面體頂點到底邊的距離l=

3 4 a2 - 1 12 a2

=

6

3

a，
∵四面體內任意一點到四個面的距離之和就是正四面體頂點到底邊的距離l，
∴正四面體內任意一點到四個面的距離之和是一個定值，大小為棱長的

6

3

倍．

點評：此題主要考查命題的歸納和類比，利用平面幾何的性質，類比到立體幾何上，題比較新穎，是一道好題．