Question

（本小題滿分13分）
如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝CC₁，M為AB的中點。

（Ⅰ）求證：BC₁∥平面MA₁C；
（Ⅱ）求證：AC₁⊥平面A₁BC。

Answer 1

（Ⅰ）設AC₁∩A₁C=O，連結MO，四邊形AA₁C₁C為矩形，AO=OC_1，AO=OC₁，AM=MB，所以MO∥BC_1，所以∥平面MA₁C（Ⅱ）矩形AA₁C₁C中，因為AC=CC₁，所以AC₁⊥A₁C，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，所以CC₁⊥BC，因為AC⊥BC BC⊥平面ACC₁A_1，所以BC⊥AC_1，所以AC₁⊥平面A₁BC

試題分析：（Ⅰ）如圖，設AC₁∩A₁C=O，連結MO，

因為直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，
所以四邊形AA₁C₁C為矩形，
所以AO=OC₁,
在△AC₁B中，因為AO=OC₁，AM=MB，
所以MO∥BC₁.                      3分
又因為平面MA₁C，MO平面MA₁C，
所以∥平面MA₁C。             6分
（Ⅱ）在矩形AA₁C₁C中，因為AC=CC₁，
所以AC₁⊥A₁C。                  8分
因為直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，
所以CC₁⊥BC，
又因為AC⊥BC，AC∩CC₁=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，        10分
所以BC⊥AC₁。               11分
又因為BC∩A₁C=C，AC₁⊥A₁C，
所以AC₁⊥平面A₁BC。      13分
點評：平面外一直線與平面內一直線平行，則直線平行于平面；一條直線垂直于平面內兩條相交直線，則直線垂直于平面