Question

以下命題
①x∈R，x+

1

x

≥2恒成立；   
②△ABC中，若sinA=sinB，則A=B；
③若向量

a

=(x1，y1)  ，

b

=(x2，y2)，則

a

⊥

b

?x₁•x₂+y₁•y₂=0；
④對等差數(shù)列{a_n}前n項和S_n，若對任意正整數(shù)n有S_n+1＞S_n，則a_n+1＞a_n對任意正整數(shù)n恒成立；
⑤a=3是直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7平行但不重合的充要條件．
其中正確的序號是

②③⑤

．

Answer 1

分析：對于①x＜0時，不正確；對于②，因為△ABC中，當(dāng)sinA=sinB時，A=B或A+B=π，故三角形是等腰三角形；對于③若向量

a

=(x1，y1)  ，

b

=(x2，y2)，則

a

⊥

b

?x₁•x₂+y₁•y₂=0，正確；對于④由S_n+1＞S_n，則a_n+1＞0，不一定是a_n+1＞a_n，故不正確．⑤a=3時，可檢驗兩直線平行且不重合，但當(dāng)兩直線平行且不重合時，經(jīng)檢驗，a=0和a=1不成立，由一次項系數(shù)之比相等但不等于常數(shù)項之比，求得a=3，故可得答案．

解答：解：對于①因為當(dāng)x＜0時，x+

1

x

≥2不成立，故不正確；對于②，因為△ABC中，當(dāng)sinA=sinB時，A=B或A+B=π，故三角形是等腰三角形，故正確．對于③若向量

a

=(x1，y1)  ，

b

=(x2，y2)，則

a

⊥

b

?x₁•x₂+y₁•y₂=0，正確；
對于④對等差數(shù)列{a_n}前n項和S_n，若對任意正整數(shù)n有S_n+1＞S_n，則a_n+1＞0，不一定是a_n+1＞a_n，故不正確．⑤a=3時，可檢驗兩直線平行且不重合，但當(dāng)兩直線平行且不重合時，經(jīng)檢驗，a=0和a=1不成立，由一次項系數(shù)之比相等但不等于常數(shù)項之比，求得a=3，故 a=3是直線ax+2y+3a=0與直線3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的充要條件，故正確．
故答案為②③⑤．

點評：本題考查兩直線平行的條件和性質(zhì)，基本不等式，等差數(shù)列的性質(zhì)以及由三角函數(shù)值判斷角之間的關(guān)系．