Question

設函數表示f(x)導函數。

    (I)求函數一份（x）)的單調遞增區間；

    (Ⅱ)當k為偶數時，數列{}滿足．證明：數列{}中

不存在成等差數列的三項；

(Ⅲ)當后為奇數時，證明：對任意正整數，n都有成立．

Answer 1

（1）當k為奇數時，f(x)的單調遞增區間為，當k為偶數時f(x)的單調遞增區間為（2）見解析（3）見解析

解析:

（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞）

     又                  

當k為奇數時，

即的單調遞增區間為                    

當k為偶函數時，

由>0，得x-1>0,∴x>1,即f(x)的單調遞增區間為，

綜上所述：當k為奇數時，f(x)的單調遞增區間為，當k為偶數時f(x)的單調遞增區間為                                        

（Ⅱ）當k為偶數時，由（Ⅰ）知

     所以

根據題設條件有

∴{ }是以2為公式的比例數列                

假設數列{}中存在三項，，，成等差數列

不妨設r<s<t，則2=+

即

又 

（Ⅲ）當k為奇數時       

方法二：（數學歸納發）

當n=1是，左邊=0，右邊=0，顯然不等式成立

設n=k+1時：

又

n=k+1時結論成立。

綜上，對一切正整數n結論成立。