Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx滿足f（x-1）=f（x）+x-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）的零點，并寫出f（x）＜0時，x取值的集合；
（Ⅲ）設F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），當x∈[-1，1]時，F（x）有最大值14，試求a的值．

Answer 1

分析：（1）將f（x-1）=f（x）+x-1化簡，再利用函數相等的意義求出a，b，得出f（x）的解析式；
（2）解f（x）=0，求出零點，依照二次不等式解法求解f（x）＜0
（3）將a^x看作整體u，換元得出關于u的二次函數，利用二次函數圖象與性質求解．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+bx滿足f（x-1）=f（x）+x-1，∴a（x-1）²+b（x-1）=ax²+bx+x-1，即ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1，∴

-(2a-b)=b+1 a-b=-1

，解得a=-

1

2

，b=

1

2

．∴f(x)=-

1

2

x2+

1

2

x．…（5分）
（ II）由f（x）=0得函數的零點為0，1．
又函數f（x）的圖象是開口向下的拋物線，∴f（x）＜0時x＞1或x＜0．
∴x取值的集合為{x|x＞1或x＜0}．…（9分）
（ III）由F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a^2x+2a^x-1．
①當a＞1時，令u=a^x，∵x∈[-1，1]，∴u∈[

1

a

，a]，令g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[

1

a

，a]．∵對稱軸u=-1，∴g（u）在[

1

a

，a]上是增函數．∴gmax(u)=g(a)=a2+2a-1=14，∴a²+2a-15=0，∴a=3，a=-5（舍）．
②當0＜a＜1時，令u=a^x，∵x∈[-1，1]∴u∈[a，

1

a

]∴g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[a，

1

a

]，∵對稱軸u=-1，∴g（u）在[a，

1

a

]上是增函數．∴gmax(u)=g(

1

a

)=(

1

a

)2+

2

a

-1=14，∴

1

a

=3，

1

a

=-5（舍），∴a=

1

3

．
綜上a=

1

3

或a=3．…（14分）

點評：本題考查函數的解析式表示法，二次函數圖象與性質，數形結合、換元的思想方法．