Question

自然狀態下的魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響．用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N^*，且x₁＞0．不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c．
（Ⅰ）求x_n+1與x_n的關系式；
（Ⅱ）猜測：當且僅當x₁，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）
（Ⅲ）設a=2，b=1，為保證對任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，則捕撈強度b的
最大允許值是多少？證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用題中的關系求出魚群的繁殖量，被捕撈量和死亡量就可得到x_n+1與x_n的關系式；
（Ⅱ）每年年初魚群的總量保持不變就是x_n恒等于x₁，轉化為x_n+1-x_n=0恒成立，再利用（Ⅰ）的結論，就可找到x₁，a，b，c所滿足的條件；
（Ⅲ）先利用（Ⅰ）的結論找到關于x_n和b的不等式，再利用x₁∈（0，2），求出b的取值范圍以及b的最大允許值，最后在用數學歸納法進行證明即可．

解答：解：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為cx_n²，
因此x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx_n²，n∈N*．（*）
即x_n+1=x_n（a-b+1-cx_n），n∈N*．（**）
（II）若每年年初魚群總量保持不變，則x_n恒等于x₁，n∈N*，
從而由（*）式得x_n（a-b-cx_n）恒等于0，n∈N*，
所以a-b-x₁=0．即x₁=

a-b

c

．
因為x₁＞0，所以a＞b．
猜測：當且僅當a＞b，且x₁=

a-b

c

．每年年初魚群的總量保持不變．
（Ⅲ）若b的值使得x_n＞0，n∈N*
由x_n+1=x_n（3-b-x_n），n∈N*，知
0＜x_n＜3-b，n∈N*，特別地，有0＜x₁＜3-b．即0＜b＜3-x₁．
而x₁∈（0，2），所以b∈（0，1]．
由此猜測b的最大允許值是1．
下證當x₁∈（0，2），b=1時，都有x_n∈（0，2），n∈N*
①當n=1時，結論顯然成立．
②假設當n=k時結論成立，即x_k∈（0，2），
則當n=k+1時，x_k+1=x_k（2-x_k）＞0．
又因為x_k+1=x_k（2-x_k）=-（x_k-1）²+1≤1＜2，
所以x_k+1∈（0，2），故當n=k+1時結論也成立．
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有x_n∈（0，2）．
綜上所述，為保證對任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是1．

點評：本題是對數列、函數、數學歸納法等知識的綜合考查，在作數列方面的應用題時，一定要認真真審題，仔細解答，避免錯誤．