Question

在直角梯形A₁A₂A₃D中，A₁A₂⊥A₁D，A₁A₂⊥A₂A₃，且B，C分別是邊A₁A₂，A₂A₃上的一點，沿線段BC，CD，DB分別將△BCA₂，△CDA₃，△DBA₁
翻折上去恰好使A₁，A₂，A₃重合于一點A
（Ⅰ） 求證：AB⊥CD；
（Ⅱ）已知A₁D=10，A₁A₂=8，，試求：（1）四面體ABCD內切球的表面積；（2）二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）先根據翻折前后在同一個面上的位置故選及度量故選不變，得到）∠BAC=∠BAD=

π

2

，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質得到AB⊥CD
（II）（1）將三棱錐的體積用內切球的半徑表示，利用三棱錐的體積公式求出其體積，進一步求出內切球的半徑，利用球的表面積公式求出其表面積．
（2）建立空間直角坐標系，利用面的法向量垂直面內的兩個相交向量，列出方程組求出平面BCD的法向量，利用向量的數量積求出兩個法向量所成角的余弦值，再根據二面角與法向量所成角的關系得到二面角A-BC-D的余弦值．

解答：解：（I）∠BAC=∠BAD=

π

2

∴BA⊥面ACD
∴AB⊥CD
（II）（1）VABCD=

1

3

S表•r
∴r= 

3VABCD

S表

=

3VABCD

S梯形A1A2A3A4

=

( 1 2 ×8×8)×4

1 2 (10+16)×8

=

16

13

∴S球=4πr2=

1024π

169

（2）以AC 所在的直線為y軸AB所在的直線為y軸建立空間直角坐標系，則
（0，0，0），B（0，0，4），C（0，8，0）D（8，6，0）
∴平面ABC的法向量為

n1

=(1，0，0)
設平面BCD的法向量為

n2

=(1，x，y)
又

BC

=(0，8，-4)，

BD

=(8，6，-4)
∴

8x-4y=0 8+6x-4y=0

解得

x=4 y=8

∴

n2

=(1，4，8)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

設二面角A-BC-D為α
∴cosα=

1

9

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，根據幾何體的結構特征得到空間中的線面關系，進而建立坐標系利用向量的有關運算解決空間角、空間距離與體積等問題