Question

在極坐標系中，過曲線L：（＞0）外的一點A（2，）（其中tanθ=2，θ為銳角）作平行于θ=（）的直線與曲線L分別交于B、C。
（1）寫出曲線L和直線的普通方程（以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建系）；（2）若︱AB︱、︱BC︱、︱AC︱成等比數列，求的值。

Answer 1

（1）L：y²=2ax，A（－2，－4）  ：y=x－2（2）a=1

本試題主要是考查了極坐標方程與直角坐標方程的轉化，以及等比數列的概念的運用。
（1）因為過曲線L：，兩邊同時乘以化簡為直角坐標方程。
（2）將與拋物線聯立得到二次方程，結合數列的關系式︱BC︱²=︱AB︱︱AC︱，和t的幾何意義得到參數a的值。
（1）L：y²=2ax，A（－2，－4）  ：y=x－2
與拋物線聯立得t²－2（4+a）t+8（4+a）=0
由已知：︱BC︱²=︱AB︱︱AC︱，由t的幾何意義︱t₁－t₂︱²=︱t₁t₂︱得a=1