Question

如圖，橢圓以邊長為1的正方形ABCD的對角頂點A，C為焦點，且經過各邊的中點，試建立適當的坐標系，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：建立如圖所示的坐標系，寫出A、C、D、E的坐標，利用橢圓的定義及標準方程的形式，待定系數法求橢圓的方程．

解答：解：如圖所示：以點A，C所在直線為x軸，以線段AC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，
則A（-

2

2

，0）、C（

2

2

，0），D（0，

2

2

），
故CD的中點 E（

2

4

，

2

4

），
∵E在橢圓上，由橢圓的定義，
得EA+EC=2a=

( 3 2 4 )2+ 2 16

+

(- 2 4 )2+ 2 16

=

5

2

+

1

2

=

1+ 5

2

，
∴a=

1+ 5

4

．
又 c=

2

2

，∴b²=a²-c²=

5 -1

8

，∴橢圓的方程為：

8x2

3+ 5

+

32y2

3- 5

=1．

點評：本題考查利用橢圓的定義，用待定系數法求橢圓的標準方程的方法，屬于中檔題．