Question

13、對于任意實數x，符號[x]表示x的整數部分，即[x]是不超過x的最大整數，這個函數[x]叫做“取整函數”，那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]=

857

．

Answer 1

分析：由題意知[log₃1]+[log₃2]=0，[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1，[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2…，所以[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．

解答：解：由題意可知：設[log₃a]=b
log₃a=b+x，a，b為整數
a=3^b+x，0≤x＜1，
因為y=3^x為單調增函數
當a在[1，2]時
因為3⁰=1，3¹=3
則0＜b+x＜1
所以b=0時，[log₃1]+[log₃2]=0
當a在[3，8]時
同理1＜b+x＜2
b=1時，[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1
b=2時，[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2．
b=3時，[log₃27]+[log₃28]+…+[log₃80]=3．
b=4時，[log₃81]+[log₃82]+…+[log₃242]=4．
b=5時，[log₃243]=5．
∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．

點評：本題考查對數的運算法則，解題時要注意公式的靈活運用，同時要注意總結規律．