Question

已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

1

3

a_na_n+1（n∈N^*），其中a₁=1．則a_n=

a_n=

3 2 n- 1 2 3 2 n

；

n為奇數(shù) n為偶數(shù)

．

Answer 1

分析：由題意可得S_n-1=

1

3

a_n-1a_n，與已知式子相減可得a_n+1-a_n-1=3，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，和偶數(shù)項(xiàng)均為公差為3的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分別可得．

解答：解：由題意可得

Sn= 1 3 an+1an Sn-1= 1 3 anan-1

，

① ②

①-②可得：an=

1

3

an(an+1-an-1)，
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=3，
又∵a₁=1，a₂=3；
∴an=

3 2 n- 1 2 3 2 n

，

n為奇數(shù) n為偶數(shù)

，
故答案為：an=

3 2 n- 1 2 3 2 n

，

n為奇數(shù) n為偶數(shù)

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分類求解是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．