Question

已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的離心率為，右準線方程為x=
（I）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l是圓O：x²+y²=2上動點P（x，y）（xy≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，證明∠AOB的大小為定值．

Answer 1

【答案】分析：（ I）先利用條件列出關于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出雙曲線方程．
（II）先求出圓的切線方程，再把切線與雙曲線方程聯立求出關于點A，B坐標之間的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可證明∠AOB的大小為定值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，，
解得a=1，c=，
b²=c²-a²=2，
∴所求雙曲C的方程．
（Ⅱ）P（m，n）（mn≠0）在x²+y²=2上，
圓在點P（m，n）處的切線方程為y-n=-（x-m），
化簡得mx+ny=2．
以及m²+n²=2得
（3m²-4）x²-4mx+8-2m²=0，
∵切L與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且0＜m²＜2，
3m²-4≠0，且△=16m²-4（3m²-4）（8-2m²）＞0，
設A、B兩點的坐標分別（x₁，y₁），（x₂，y₂），
x₁+x₂=，x₁x₂=．
∵，
且
=x₁x₂+[4-2m（x₁+x₂）+m²x₁x₂]
=+[4-+]
=-=0．
∴∠AOB的大小為90．
點評：本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，
考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．