Question

（2013•鎮江二模）如圖，在△ABC中，B=

π

4

，角A的平分線AD交BC于點D，設∠BAD=α，sinα=

5

5

．
（1）求sin∠BAC和sinC；
（2）若

BA

•

BC

=28，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數平方關系、倍角公式、誘導公式、兩角和的正弦公式即可得出；
（2）利用正弦定理、向量的數量積即可得出．

解答：解：（1）∵α∈(0，

π

2

)，sinα=

5

5

=

1

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

2

5

．
則sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×

1

5

×

2

5

=

4

5

．
∴cos∠BAC=cos2α=2cos²α-1=2×

4

5

-1=

3

5

．
sinC=sin[π-(

π

4

+2α)]=sin(

π

4

+2α)
=

2

2

sin2α+

2

2

cos2α=

2

2

×

4

5

+

2

2

×

3

5

=

7 2

10

．
（2）由正弦定理得

AB

sinC

=

BC

sin∠BAC

，∴

AB

7 2 10

=

BC

4 5

，∴AB=

7 2

8

BC，
∵

BA

•

BC

=28，∴AB•BC•

2

2

=28．
由上兩式解得BC=4

2

．
又由

AC

sinB

=

BC

sin∠BAC

，得

AC

2 2

=

BC

4 5

，解得AC=5．

點評：本題綜合考查了三角函數平方關系、倍角公式、誘導公式、兩角和的正弦公式、正弦定理、向量的數量積等知識與方法．需要較強的推理能力和計算能力．