Question

設A、B是橢圓3x²+y²=λ上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點．
（1）確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；
（2）求以線段CD的中點M為圓心且與直線AB相切的圓的方程．

Answer 1

解：（1）依題意，顯然直線AB的斜率存在，可設直線AB的方程為 y=k（x-1）+3，
代入 橢圓3x²+y²=λ，整理得 （k²+3 ） x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0 ①
設 A （ x₁，y₁ ），B （x₂，y₂ ），則 x₁，x₂ 是方程①的兩個不同的根，
∴△=4k² （k-3）²-4 （k²+3 ）[（k-3）²-λ]＞0 ②，且 x₁+x₂=．
由N（1，3）是線段AB的中點，得 =1，∴k（k-3）=k²+3，∴k=-1．
代和②得 λ＞12，即 λ 的取值范圍是（12，+∞），于是直線AB的方程為 y-3=-（x-1），
即 x+y-4=0．
（2）∵CD垂直平分線段AB，∴直線CD的方程為 y-3=x-1，即 x-y+2=0，
代入橢圓方程，整理得 4x²+4x+4-λ=0 ③．
設 C（x₃，y₃ ），D （x₄，y₄ ），CD的中點為 M（x₀，y₀ ），則 x₃，x₄ 是方程③的兩根，
∴x₃+x₄=-1，∴x₀==-，y₀=x₀+1=，即 M（-， ）．
又 M（-， ）到直線AB的距離 d==，
故所求圓的方程為 ．
分析：（1）可設直線AB的方程為 y=k（x-1）+3，代入 橢圓3x²+y²=λ，可得 x₁+x₂=，再由線段的中點公式求出 k=1，于是求得直線AB的方程．
（2）用點斜式求得直線CD的方程為 x-y+2=0，代入橢圓方程，整理得 4x²+4x+4-λ=0 ③，利用根與系數的關系和中點公式求得 M（-， ），再求得M（-， ）到直線AB的距離 d，即可得到圓的標準方程．
點評：本題考查直線和圓的位置關系，直線和圓錐曲線的位置關系，一元二次方程根與系數的關系，線段的中點公式的應用，求出點M的坐標是解題的難點．