Question

（本小題滿分14分）設函數的定義域是R，對于任意實數，恒有，且當 時，．

（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求證：，且當時，有；

（Ⅲ）判斷在R上的單調性，并加以證明.

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）令m=n=1得f(2)=f(1)f(1)=，               2分

∴．                                            4分

（Ⅱ），

令，則，且當時，，

∴；                                                    6分

設，，

∴，∴．                         9分

（Ⅲ）在R上任取x₁，x₂，使得，

則，∴，

∴

∵當x>0時，0<f(x)<1；當x=0時，f(x)=1>0；當x<0時，f(x) >1

∴對任意x∈R，有f(x) >0，∴f(x₁)>0

∵0<f(x₂-x₁)<1  ∴f(x₂-x₁)-1<0

∴f(x₂)-f(x₁)<0，即f(x₁)>f(x₂)

∴在R上是單調遞減．                                    14分

 

【解析】略