Question

設橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2

21

，左焦點到左準線的距離為3

7

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C上有不同兩點P、Q，且OP⊥OQ，過P、Q的直線為l，求點O到直線l的距離．

Answer 1

分析：設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），b=

21

．由-c-（

-a2

c

）=3

7

，得c=

7

．由此能求出橢圓C的方程．
（2）若直線l的斜率不存在，設l與x正半軸交于點M，將x=y代入

x2

28

+

y2

21

=1中，得到點P（2

3

，2

3

），Q（2

3

，-2

3

），于是點O到l的距離為2

3

．若直線l的斜率存在，設l的方程為y=kx+m（k，m∈R），則點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐標是方程組

y=kx+m x2 28 + y2 21 =1

的兩個實數解，再由根的判別式和韋達定理進行求解．

解答：解：設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則2b=2

21

，b=

21

．
由-c-（

-a2

c

）=3

7

，即

a2-c2

c

=

b2

c

=3

7

，得c=

7

．
于是a²=b²+c²=21+7=28，橢圓C的方程為

x2

28

+

y2

21

=1．（5分）
（2）若直線l的斜率不存在，即l⊥x軸時，不妨設l與x正半軸交于點M，將x=y代入

x2

28

+

y2

21

=1中，得x=y=±2

3

，則點P（2

3

，2

3

），Q（2

3

，-2

3

），于是點O到l的距離為2

3

．（7分）
若直線l的斜率存在，設l的方程為y=kx+m（k，m∈R），則點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐標是方程組

y=kx+m x2 28 + y2 21 =1

的兩個實數解，
消去y，整理，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-84=0，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-84）=12（28k²-m²+21）＞0，①
x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁•x₂=

4m2-84

3+4k2

．②（9分）
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1，即

y1

x1

•

y2

x2

=-1，x₁x₂+y₁y₂=0．
于是x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．③
將x₁+x₂，x₁x₂代入上式，得（1+k²）•

4m2-84

3+4k2

-km

8km

3+4k2

+m²=0，
∴（k²+1）（4m²-84）-8k²m²+m²（4k²+3）=0，
化簡，得m²=12（k²+1）．④
④代入①滿足，因此原點O到直線l的距離d=

|-m|

k2+1

=

12

=2

3

．（12分）

點評：本題考查橢圓的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地選用公式．