Question

【題目】已知直線l：y=kx+1（k≠0）與橢圓3x2+y2=a相交于A、B兩個不同的點，記l與y軸的交點為C．
（Ⅰ）若k=1，且|AB|= ，求實數a的值；
（Ⅱ）若 =2 ，求△AOB面積的最大值，及此時橢圓的方程．

Answer 1

【答案】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），

（Ⅰ）由 得4x2+2x+1﹣a=0，

則x1+x2= ，x1x2= ，

則|AB|= = ，解得a=2．

（Ⅱ）由 ，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，

則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

由 =2 得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），

解得x1=﹣2x2，代入上式得：

x1+x2=﹣x2=﹣ ，則x2= ，

= = ，

當且僅當k2=3時取等號，此時x2= ，x1x2=﹣2x22=﹣2× ，

又x1x2= = ，

則 =﹣ ，解得a=5．

所以，△AOB面積的最大值為 ，此時橢圓的方程為3x2+y2=5

【解析】（1）本小題的關鍵是線段AB長的表示，求得過程為；（2）本題關鍵在于三角形AOB面積的表示，求得過程為：S△AOB=.