Question

（理）如圖展示了一個由區間（0，1）到實數集R的對應過程：區間（0，1）中的實數m對應數軸上的點M，如圖①；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖②；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖3．圖③中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m對應n，記作f（m）=n．給出下列結論：

（1）方程f（x）=0的解是x=

1

2

； 
（2）f(

1

4

)=1； 
（3）f（x）是奇函數；
（4）f（x）在定義域上單調遞增；   
（5）f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱．
上述說法中正確命題的序號是

（1）（4）（5）

（填出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：由題中對映射運算描述，對四個命題逐一判斷其真偽，
（1）m=

1

2

此時M恰好處在與A相對的y軸上，易得N與O重合，
（2）先利用f（

1

4

）=-1，判斷出（2）錯，
（3）在有實數m所在區間（0，1）不關于原點對稱，知（3）錯
（4）可由圖3，由M的運動規律觀察出函數值的變化，得出單調性，
（5）可由圖3中圓關于Y軸的對稱判斷出正誤

解答：解：由題意
（1）是正確命題，因為當m=

1

2

此時M恰好處在與A相對的y軸上，此時N與O重合，故有f（m）=0，即 f(

1

2

)=0；
（2）如圖，因為在以為圓心，為半徑的圓上運動，對于①當=

1

4

時．的坐標為（-

1

2π

，1-

1

2π

），直線AM的方程為所以點N的坐標為（-1，0），故f（

1

4

）=-1，即（2）錯
（3）對于（3），因為實數m所在區間（0，1）不關于原點對稱，所以f（x）不存在奇偶性．故（3）錯．
（4）是正確命題，由圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運動到B，此時N由x的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f（x）在定義域上單調遞增是正確的；
（5）是正確命題，由圖3可以看出，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于Y軸對稱，即此時函數值互為相反數，故可知f（x）的圖象關于點 (

1

2

，0)對稱
綜上知，（1）（4）（5）是正確命題，
故答案為：（1）（4）（5）．

點評：本題考查了在新定義的條件下解決函數問題，是一道很好的題．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題，解答本題關鍵是理解題設中所給的對應關系，正確認識三個圖象的意義，由此對四個命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數于形，是一個考查理解能力的題，對題設中所給的關系進行探究，方可得出正確答案，本題易因為理解不了題意而導致無法下手，較抽象，難．