Question

已知函數(x-1)f(

x+1

x-1

)+f(x)=x，其中x≠1，求函數解析式．

Answer 1

分析：由題意，可令x=

x+1

x-1

再建立一個關于f（x）與f(

x+1

x-1

)的方程，利用解方程組的方法求得函數的解析式，

解答：解：∵函數(x-1)f(

x+1

x-1

)+f(x)=x，其中x≠1，
令x=

x+1

x-1

，得(

x+1

x-1

-1)f(x)+f(

x+1

x-1

)=

x+1

x-1

，整理得f(

x+1

x-1

)=

x+1

x-1

-(

x+1

x-1

-1)f(x)
將f(

x+1

x-1

)=

x+1

x-1

-(

x+1

x-1

-1)f(x)代入(x-1)f(

x+1

x-1

)+f(x)=x
整理得f（x）=1
故函數的解析式為f（x）=1

點評：本題考查函數解析式的求法，如本題這樣對偶型的方程求解析式的方法，通常是再構建一個同類的方程，利用解方程組的方法求式，本題解答方法較為特殊，答后應注意總結本題中所給方程的特點及對應解法的原理