Question

（本題滿分14分）
在直角坐標系中，點P到兩點、的距離之和等于6，設點P的軌跡為曲線，直線與曲線交于A、B兩點．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）若以線段AB為直徑的圓過坐標原點，求的值；
（Ⅲ）當實數取何值時，的面積最大，并求出面積的最大值．

Answer 1

(1)
(2)
(3)

解：（Ⅰ）由已知可得，點P的軌跡C是以、為焦點，長半軸為3的橢圓．
它的短半軸，故曲線C的方程為．---------2分
（Ⅱ）設、．
消去并整理得
判別式，故，．-----------------4分
若以線段AB為直徑的圓過坐標原點，則，∴．-----------5分
，
．
∴
．----------------8分