Question

已知函數f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)時，則下列結論不正確的是（　　）

• A、?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立
• B、?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有兩個不等實數根
• C、?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
• D、?k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點

Answer 1

分析：通過函數的基本性質--奇偶性和單調性，對選項進行逐一驗證即可．

解答：解：∵f（-x）=

-x

1+|x|

=-f（x）  故A中結論正確，排除A．
令m=

1

2

，|f（x）|=

1

2

，可解得，x=

1

2

或-

1

2

，故B中結論正確，排除B．
當x≥0時，f（x）=

x

1+x

，f'（x）=

1

(1+x)2

＞0，故原函數在[0，+∞）單調遞增
當x＜0時，f（x）=

x

1-x

，f'（x）=

1

(1-x)2

＞0，故原函數在（-∞，0）單調遞增
故函數在R上但單調遞增，故C中結論正確，排除C．
故選D．

點評：本題主要考查函數的基本性質，即奇偶性、單調性問題．