Question

（2013•中山一模）某書商為提高某套叢書的銷量，準備舉辦一場展銷會．據市場調查，當每套叢書售價定為x元時，銷售量可達到15一O.1x萬套．現出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格（單位：元）與銷售量（單位：萬套）成反比，比例系數為l0．假設不計其它成本，即銷售每套叢書的利潤=售價 一 供貨價格．問：
（I）每套叢書定價為100元時，書商能獲得的總利潤是多少萬元？
（Ⅱ）每套叢書定價為多少元時，單套叢書的利潤最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定每套叢書定價為100元時的銷售量，從而可得時每套供貨價格，根據銷售每套叢書的利潤=售價 一 供貨價格，可求得書商能獲得的總利潤；
（Ⅱ）先確定每套叢書售價范圍，再確定單套叢書利潤，利用基本不等式，可求單套叢書的利潤最大值．

解答：解：（Ⅰ）每套叢書定價為100元時，銷售量為15-0.1×100=5萬套，
此時每套供貨價格為30+

10

5

=32元，（3分）
∴書商所獲得的總利潤為5×（100-32）=340萬元． （4分）
（Ⅱ）每套叢書售價定為x元時，由

15-0.1x＞0 x＞0

得，0＜x＜150，（5分）
依題意，單套叢書利潤P=x-(30+

10

15-0.1x

)=x-

100

150-x

-30（7分）
∴P=-[(150-x)+

100

150-x

]+120，
∵0＜x＜150，∴150-x＞0，
由　(150-x)+

100

150-x

≥2

(150-x)• 100 150-x

=2×10=20，（10分）
當且僅當150-x=

100

150-x

，即x=140時等號成立，此時P_max=-20+120=100．
答：（Ⅰ）當每套叢書售價定為100元時，書商能獲得總利潤為340萬元；（Ⅱ）每套叢書售價定為140元時，單套利潤取得最大值100元． （12分）

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是建立單套叢書利潤函數，再利用基本不等式確定其最值．