Question

（04年湖北卷文）（12分）

如圖，在棱長為1的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AC與BD交于點(diǎn)E，CB與CB₁交于

點(diǎn)F.

（I）求證：A₁C⊥平BDC₁；

（II）求二面角B―EF―C的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）∵A₁A⊥底面ABCD，則AC是A₁C在底面ABCD的射影.

∵AC⊥BD.∴A₁C⊥BD.

同理A₁C⊥DC₁,又BD∩DC₁=D,

∴A₁C⊥平面BDC_1.

（Ⅱ）取EF的中點(diǎn)H，連結(jié)BH、CH，

又E、F分別是AC、B₁C的中點(diǎn)，

解法二：（Ⅰ）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0).D(1,0,0),B(0,1,0),A₁(1,1,1),C₁(0,0,1),D₁(1,0,1)

（Ⅱ）同（I）可證，BD₁⊥平面AB₁C.