Question

【題目】數(shù)列是正整數(shù)的任一排列，且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①；②當(dāng)時(shí)， ().

記這樣的數(shù)列個(gè)數(shù)為.

（I）寫出的值；

（II）證明不能被4整除.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）依題意，易得： ；（2）把滿足條件①②的數(shù)列稱為項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列.對(duì)于個(gè)數(shù)的首項(xiàng)最小數(shù)列，由于，故或3.分成三類情況，利用已知條件逐一進(jìn)行驗(yàn)證即可.

試題解析：

（Ⅰ）解： .

（Ⅱ）證明：把滿足條件①②的數(shù)列稱為項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列.

對(duì)于個(gè)數(shù)的首項(xiàng)最小數(shù)列，由于，故或3.

（1）若，則構(gòu)成項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列，其個(gè)數(shù)為；

（2）若，則必有，故構(gòu)成項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列，其個(gè)數(shù)為；

（3）若則或. 設(shè)是這數(shù)列中第一個(gè)出現(xiàn)的偶數(shù)，則前項(xiàng)應(yīng)該是， 是或，即與是相鄰整數(shù).

由條件②，這數(shù)列在后的各項(xiàng)要么都小于它，要么都大于它，因?yàn)?在之后，故后的各項(xiàng)都小于它.

這種情況的數(shù)列只有一個(gè)，即先排遞增的奇數(shù)，后排遞減的偶數(shù).

綜上，有遞推關(guān)系： ， .

由此遞推關(guān)系和（I）可得， 各數(shù)被4除的余數(shù)依次為：

1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…

它們構(gòu)成14為周期的數(shù)列，又，

所以被4除的余數(shù)與被4除的余數(shù)相同，都是1，

故不能被4整除.