Question

已知函數f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（1）設a=

5

3

，求函數f（x）在[0，5]上的最大值和最小值；
（2）設f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定函數的單調性與極值，計算端點的函數值，即可得到結論；
（2）f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，等價于方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區間（2，3）有解．

解答：解：（1）當a=

5

3

時f′（x）=3x²-10x-3=（x-3）（3x-1）
令f′（x）=0，得x=

1

3

或x=3．

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	( 1 3 ，3)	3	（3，5）	5
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1?		40 27	?	-8	?	16

∴f（x）在[0，5]上的最大值為16，最小值為-8．
（2）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，等價于方程3x²-6ax+3=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區間（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

(x+

1

x

)，
令g(x)=

1

2

(x+

1

x

)，求導函數可得g′(x)=

1

2

(1-

1

x2

)
∴g（x）在（2，3）上單調遞增，
∴

5

4

＜

1

2

(x+

1

x

)＜

5

3

，
∴

5

4

＜a＜

5

3

，此時滿足△＞0，
故a的取值范圍是

5

4

＜a＜

5

3

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點轉化為方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區間（2，3）有解．