Question

已知雙曲線的離心率為2，F₁、F₂是左右焦點，P為雙曲線上一點，且∠F₁PF₂=60°，S△PF1F2=12

3

．該雙曲線的標準方程為

x2

4

-

y2

12

=1

．

Answer 1

分析：設出雙曲線方程，利用雙曲線的定義列出一方程，在△F₁PF₂中利用余弦定理得到一方程，利用三角形的面積公式得一方程，利用雙曲線的離心率公式得一方程，解方程組求出雙曲線的方程．

解答：解：不妨設點P在雙曲線的右支上，
設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，|PF₁|=m，|PF₂|=n則有
m-n=2a①
∠F₁PF₂=60°
由余弦定理得
m²+n²-2mncos60°=4c²②
∵S_△PF1F2=12

3

∴

1

2

mnsin60°=12

3

③
∵離心率為2
∴

c

a

=2④
解①②③④a=2，c=4
∴b²=c²-a²=12
雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．
故答案為：

x2

4

-

y2

12

=1．

點評：求圓錐曲線的方程問題，一般利用的方法是待定系數法；解圓錐曲線上的一點與兩個焦點構成的焦點三角形問題，一般考慮余弦定理及三角形的面積公式．