Question

【題目】已知函數，

（1）討論函數的單調性；

（2）函數有兩個極值點，且，求證:.

Answer 1

【答案】（1）討論見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）首先確定函數的定義域和導函數；令，當可確定，得到函數在定義域內單調遞減；當時，分別在和兩種情況下，根據導函數的正負得到函數的單調性；

（2）令，得到，可知是方程在上的兩根，結合二次函數性質和韋達定理可確定，由此可將所證不等式轉化為證明當時，；即證，令，通過導數可求得，進而證得結論.

（1）由得： 定義域為

令，則

①當，即時，則，即 在上單調遞減

②當，即時，令，解得：，

⑴當時，

當和時，，即；當時，，即

在，上單調遞減；

在上單調遞增

⑵當時，

當時，，即；當時，，即

在上單調遞增，在上單調遞減

（2）令

則

有兩個極值點 是方程在上的兩根

對稱軸為

又 ，又

要證，

即證：時，，，

令，則

當時， 在上單調遞增

，故原不等式得證