Question

函數y=f（x），x∈R滿足f（x+1）=af（x），a是不為0的常數，當0≤x≤1時，f（x）=x（1-x），
（1）若函數y=f（x），x∈R是周期函數，寫出符合條件a的值；
（2）求n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時，求y=f（x）的表達式y=f_n（x）；
（3）若函數y=f（x）在[0，+∞）上的值域是閉區間，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x+1）=af（x），函數y=f（x），x∈R是周期函數
∴a=±1
當a=1時，f（x+1）=f（x），則T=1
當a=-1時，f（x+1）=-f（x），則f（x+2）=f（x），則T=2
（2）n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時
f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n）
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）
（3）∵f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），
∴
當|a|＞1時f（x）∈（-∞，+∞）舍去
當a=1時符合
當a=-1時符合
當0＜a＜1時符合
當-1＜a＜0時符合
∴a∈[-1，0）∪（0，1]
分析：（1）根據f（x+1）=af（x），函數y=f（x），x∈R是周期函數，求出a的值，然后分別求出a所對應的周期；
（2）利用遞推關系可得f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），然后將x-n代入當0≤x≤1時，f（x）的解析式；
（3）要使函數y=f（x）在[0，+∞）上的值域是閉區間，而f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），則，討論|a|與1的大小，驗證函數y=f（x）在[0，+∞）上的值域是否是閉區間即可．
點評：本題主要考查了函數的周期性，以及函數解析式和函數再給定區間上的值域，屬于中檔題．