Question

已知數列{a_n}的首項a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（1）求證：數列{

1

an

-1}為等比數列；
（2）記Sn=

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

，若S_n＜100，求最大的正整數n．
（3）是否存在互不相等的正整數m，s，n，使m，s，n成等差數列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比數列，如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據a_n+1和a_n關系式進行化簡，
（2）先由（1）得出數列{

1

an

}的通項公式，然后根據分組方法求出S_n，解不等式S_n＜100即可；
（3）假設存在正整數m，s，n，根據等比數列性質得出（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²并化簡，再根據a+b≥2

ab

，確定是否存在．

解答：解：（1）∵

1

an+1

=

2

3

+

1

3an

，∴

1

an+1

-1=

1

3an

-

1

3

，（2分）
∵

1

a1

-1≠0，∴

1

an

-1≠0(n∈N*)，（3分）
∴

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1，
∴數列{

1

an

-1}為等比數列．（4分）
（2）由（1）可求得

1

an

-1=

2

3

×(

1

3

)n-1，∴

1

an

=2×(

1

3

)n+1．（5分）Sn=

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=n+2(

1

3

+

1

32

++

1

3n

)=n+2•

1 3 - 1 3n+1

1- 1 3

=n+1-

1

3n

，（7分）
若S_n＜100，則n+1-

1

3n

＜100，∴n_max=99．（9分）
（3）假設存在，則m+n=2s，（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²，（10分）
∵an=

3n

3n+2

，∴(

3n

3n+2

-1)•(

3m

3m+2

-1)=(

3s

3s+2

-1)2．（12分）
化簡得：3^m+3ⁿ=2•3^s，（13分）
∵3m+3n≥2•

3m+n

=2•3s，當且僅當m=n時等號成立．（15分）
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）

點評：本題考查了等比數列的性質、前n項和的求法以及不等式的解法，綜合性很強，本題要注意a+b≥2

ab

運用，本題有一定難度．