Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，其中且.設.
（I）若，，，求方程在區間內的解集；
（II）若點是曲線上的動點.當時，設函數的值域為集合，不等式的解集為集合. 若恒成立，求實數的最大值；
（III）根據本題條件我們可以知道，函數的性質取決于變量、和的值. 當時，試寫出一個條件，使得函數滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”.【說明：請寫出你的分析過程.本小題將根據你對問題探究的完整性和在研究過程中所體現的思維層次，給予不同的評分.】

Answer 1

（I）在內的解集為
（II）的最大值. 
（III）使得函數滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”的充要條件是“當時，（）或當時，（）”.

解：（I）由題意，…………………………1分
當，，時，，…2分
，則有或，.
即或，.                        ……………4分
又因為，故在內的解集為.……5分
（II）由題意，是曲線上的動點，故.   ……………6分
因此，，
所以，的值域.  ……………8分
又的解為0和，故要使恒成立，只需
，而，
即，所以的最大值.             …………………10分
（III）解：因為，
設周期.
由于函數須滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”.
因此，根據三角函數的圖像特征可知，
，.
又因為，形如的函數的圖像的對稱中心都是的零點，故需滿足，而當，時，
因為，；所以當且僅當，時，的圖像關于點對稱；此時，，.
（i）當時，，進一步要使處取得最小值，則有，；又，則有，；因此，由可得，；
（ii）當時，，進一步要使處取得最小值，則有，；又，則有，；因此，由可得，；
綜上，使得函數滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”的充要條件是“當時，（）或當時，（）”.              ……………………………………………………14分
（第III小題將根據學生對問題探究的完整性和在研究過程中所體現的思維層次，給予不同的評分）