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已知函數f(x)為定義在R上的偶函數，且在(-∞,0］上為減函數，

(1)證明函數f(x)在［0,+∞)上為增函數;

(2)若f(a-1)＞f(1),試求實數a的取值范圍.

(1)證明：設任意x₁、x₂∈［0,+∞)且x₁＜x₂,則0＞-x₁＞-x₂,

∵f(x)在（-∞,0］上為減函數，

∴f(-x₁)＜f(-x₂),

∵f(x)為偶函數，∴f(x₁)＜f(x₂),

∴f(x)在［0,+∞）上為增函數.

(2)解析：當a＞1時,∴a＞2.

當a-1＜0,即a＜1時，解得a＜0.

綜上所述：a＜2或a＜0.

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=

x3+

a-3

x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果對任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求實數a的取值范圍；
（II）設函數f（x）的兩個極值點分別為x₁，x₂判斷下列三個代數式：①x₁+x₂+a，②

+a2，③

+a3
中有幾個為定值？并且是定值請求出；若不是定值，請把不是定值的表示為函數g（a），并求出g（a）的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x+log2

3-x

(x∈(0，3))
（1）求證：f（x）+f（3-x）為定值．
（2）記S(n)=

2n-1

i=1

f(1+

)(n∈N*)，求S（n）．
（3）若函數f（x）的圖象與直線x=1，x=2以及x軸所圍成的封閉圖形的面積為S，試探究S（n）與S的大小關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=

a•2x

2x+

的圖象過點(0，

-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）為y=f（x）的圖象上兩個不同點，又點P（x_P，y_P）滿足：

(

OP1

OP2

)，其中O為坐標原點．試問：當xP=

時，y_P是否為定值？若是，求出y_P的值，若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=

x+1-a

a-x

(x≠a)
（1）當f（x）的定義域為[a+

，a+1]時，求f（x）的值域；
（2）試問對定義域內的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否為一個定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由；
（3）設函數g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，若

≤a≤

，求g（x）的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=log3

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為

的點P滿足2

（O為坐標原點）．
（1）求證：y₁+y₂為定值；
（2）若Sn=f(

)+f(

)+…+f(

n-1

)，其中n∈N^*，n≥2令an=

，n=1

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，n≥2

，其中n∈N^*，T_n為數列{a_n}的前n項和，若T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對于給定的實數a（a＞1）是否存在這樣的數列{a_n}，使得f(an)=log3(

an+1)，且a1=

a-1

？若存在，求出a滿足的條件；若不存在，請說明理由．

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