Question

已知函數y＝f(x)＝(a、c∈R，a＞0，b是自然數)是奇函數，f(x)有最大值，且f(1)＞． (1) 試求函數f(x)的解析式 (2) 是否存在直線l與y＝f(x)的圖象只交于P、Q兩點，并且使得P、Q兩點的中點為點(1，0)?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：由f(x)為奇函數易知c＝0． 　　又因為a＞0，b是自然數，所以當x＜0時．f(x)＜0；當x＞0時，f(x)＞0．所以f(x)的最大值必在x＞0時取得． 　　當x＞0時f(x)＝≤，等號當且僅當ax＝時取得． 　　所以＝ 　　又f(1)＞，所以．結合a＞0，b是自然數，可得a＝b＝1． 　　所以f(x)＝

(2)

方法一　假設存在滿足條件的直線l，則P、Q的坐標可為P(x0，y0)、Q(2－x0，－y0)，且這兩點都在函數f(x)＝的圖象上，即 　　消去y0得－2x0－1＝0 　　解得x0＝1± 　　所以p(1＋，)，Q(1－．－)或P(1－，－)，Q(1＋，)． 　　所以，直線l的方程為x－4y－1＝0． 　　直線l的存在性還需通過充分性的檢驗． 　　把直線l的方程與函數y＝f(x)＝聯立，不難求得，共得有三組解： 　　　　　　 　　因此，直線l與y＝f(x)的圖象共有三個交點，與“只交于兩點”矛盾．所以，滿足條件的直線，l不存在． 　　在得到這樣的解答之后，我們不妨回頭再看一看，在上述過程中，函數．f(x)的性質(如奇偶性)并沒有得到充分的應用．若能充分運用這個已知條件，則 可以得到共他不同的探索過程． 　　方法二　設P(x1·y1)、Q(x2·y2)，則由f(x)為奇函數可知：P關于原點的對稱點(－x1，－y1)也在f(x)的圖象上． 　　又y1＋y2＝0，x1＋x2＝2．所以｜Q｜＝2，且Q∥x軸，故問題等價于： 　　是否存在直線m∶y＝b．使得直線m與y＝f(x)的圖象有兩個距離為2的交點． 　　將m∶y＝b代入y＝ 　　解得x1x2＝ 　　令｜x1－x2｜＝2． 　　解得b＝，x1x2＝1±， 　　所以P，Q，此時直線的方程為x－4y－1＝0 　　充分性的檢驗過程同上． 　　以上兩種解法都是從求出直線的方程入手．如果我們將著眼點放在“只交于兩點”，則可以得到下面簡潔的解法． 　　方法三：當直線l的斜率不存在時．l∶x＝1，此時l與函數f(x)的圖象只交于一點，不滿足題設，所以．可設直線PQ的方程為y＝kx＋b． 　　與y＝聯立，消去y得 　　kx3＋bx2＋(k－1)x＋b＝0()． 　　由P、Q關于點(1，0)對稱，可得點(1，0)在直線PQ上，所以b＝－k．對于上述方程()，若k＝0，則方程只有一解，不符合題意． 　　若k≠0，則方程()的實根個數可能為1或3，不可能有2個，即過點(1，0)的直線l與y＝f(x)的圖象不可能只有兩個交點，所以．這樣的直線不存在． 　　點評：本題考查探索性在函數中的應用．而敏銳的觀察、豐富的想像，是進行有效探索的法寶．