Question

設P為橢圓上任意一點，F₁，F₂為左、右焦點．
（1）若∠F₁PF₂=60°，求||-||；
（2）橢圓上是否存在點P，使-=0若存在，求出P點的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，…（2分）
在△PF₁F₂中，cos 60°=，…（4分）
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=．…（6分）
（2）設點P（x₀，y₀），則+=1．①
易知F₁（-3，0），F₂（3，0），故=（-3-x₀，-y₀），
=（-3-x₀，-y₀），
∵•=0，∴x₀-9+y₀=0，②
由①②組成方程組，此方程組無解，故這樣的點P不存在．…（12分）
注：（2）使用定義法結合勾股定理也可說明
分析：（1）利用余弦定理及雙曲線的定義，解方程求|PF₁|•|PF₂|的值．
（2）假設橢圓上存在一點P（x₀，y₀），使∠F₁PF₂=90°，利用點在橢圓上其坐標滿足橢圓的方程及向量垂直的條件，計算出點P的坐標，即可判斷這樣的P點是否存在．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，考查是否存在性問題，一般來說，是否存在性問題，通常假設存在，從而轉化為封閉型命題求解．