Question

某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響．
（1）求客人游覽2個景點的概率；
（2）設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值，求ξ的分布及數學期望．

Answer 1

解：（1）分別記“客人游覽甲景點”、
“客人游覽乙景點”和“客人游覽丙景點”為A₁，A₂，A₃，
由題設條件知A₁，A₂，A₃相互獨立，
且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，
則游覽兩個景點的概率為：
P（A₁•A₂•）+P（A₁A₃）+
=0.4×0.5×（1-0.6）+0.4×（1-0.5）×0.6+（1-0.4）×0.5×0.6
=0.08+0.12+0.18
=0.38．
（2）客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2，3．
相應地，客人沒有游覽的景點數的可能取值為3，2，1，0，
所以ξ的可能取值為1，3．
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（）
=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）×（1-0.5）×（1-0.6）
=0.24．
P（ξ=1）=1-0.24=0.76．
∴ξ的分布列為：

ξ	1	3
P	0.76	0.24

數學期望：Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
分析：（1）分別記“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”和“客人游覽丙景點”為A₁，A₂，A₃，由題設條件知A₁，A₂，A₃相互獨立，且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6，則游覽兩個景點的概率為：P（A₁•A₂•）+P（A₁A₃）+，由此能夠求出結果．
（2）客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2，3．相應地，客人沒有游覽的景點數的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（），由此能求出ξ的分布列和數學期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的期望和方差，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．