Question

已知函數f（x）=3^x+3^-x，g（x）=

x

2

+log₃（1+3^-x）．
（1）用定義證明：函數g（x）在區間（-∞，0]上為減函數，在區間[0，+∞）上為增函數；
（2）判斷函數g（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（3）若g（x）≤

1

2

log₃f（x）+a對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，作差g（x₁）-g（x₂），利用對數的性質化簡變形，到能直接判斷符號為止，根據函數單調性的定義，即可證得結論函數g（x）在區間（-∞，0]上為減函數，同理可證，在區間[0，+∞）上為增函數；
（2）利用函數奇偶性的定義，判斷f（-x）與f（x）的關系，即可證得答案；
（3）欲使g（x）≤

1

2

log₃f（x）+a對一切實數x恒成立，只需a≥[g（x）-

1

2

log₃f（x）]_max，利用對數的運算法則進行化簡，最后利用基本不等式求出右側函數的最大值即可求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵g（x）=

x

2

+log₃（1+3^-x），
設x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
∴g（x₁）-g（x₂）=

x1

2

+log3(1+3-x1)-

x2

2

-log3(1+3-x2)
=

x1-x2

2

+log3

3x1+x2+3x2

3x1+x2+3x1

=log3[3

x1-x2

2

•

3x1+x2+3x2

3x1+x2+3x1

]
=log3

3x1+3 x1+x2 2

3x1+3x1+x2

，
∵x₁＜x₂≤0，
則x₁+x₂＜0，x₁+x₂＜

x1+x2

2

，
∴3x1+x2＜3

x1+x2

2

，
∴

3x1+3 x1+x2 2

3x1+3x1+x2

＞1，
∴log3

3x1+3 x1+x2 2

3x1+3x1+x2

＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函數g（x）在區間（-∞，0]上為減函數，
同理可證，函數g（x）在區間[0，+∞）上為增函數，
故函數g（x）在區間（-∞，0]上為減函數，在區間[0，+∞）上為增函數；
（2）f（x）為R上的奇函數．
證明：∵f（x）=3^x-3^-x，則定義域為R，
∴f（-x）=3^-x-3^x=-（3^x-3^-x）=-f（x），
根據奇函數的定義，可得f（x）為R上的奇函數；
（3）∵f（x）=3^x+3^-x，g（x）=

x

2

+log₃（1+3^-x），
∴

x

2

+log₃（1+3^-x）≤

1

2

log₃（3^x+3^-x）+a對一切實數x恒成立，
則a≥log₃3

x

2

+log₃（1+3^-x）-

1

2

log₃（3^x+3^-x）=log₃（

3 x 2 +3- x 2

3x+3-x

），
不妨令a=3

x

2

，b=3-

x

2

，則

3 x 2 +3- x 2

3x+3-x

=

a+b

a2+b2

≤

2(a2+b2)

a2+b2

=

2

，
當且僅當a=b時，即x=0時取等號，
∴a≥log₃

2

，
即實數a的取值范圍a≥log₃

2

．

點評：本題考查了函數奇偶性的判斷，奇偶性的判斷一般應用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數的定義域是否關于原點對稱．本題還考查了函數單調性的判斷與證明，注意一般單調性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．同時考查了函數求值以及函數的恒成立問題．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．屬于難題．