Question

已知橢圓的左焦點為F（-，0），離心率e=，M、N是橢圓上的動點．
（Ⅰ）求橢圓標準方程；
（Ⅱ）設動點P滿足：，直線OM與ON的斜率之積為-，問：是否存在定點F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值？，若存在，求出F₁，F₂的坐標，若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且點M，N關于原點對稱，點M在x軸上的射影為A，連接NA 并延長交橢圓于點B，證明：MN⊥MB．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的左焦點為F（-，0），離心率e=，建立方程組，求得幾何量，從而可求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）利用，確定坐標之間的關系，由直線OM與ON的斜率之積為，結合M、N是橢圓上的點，即可求得結論；
（Ⅲ）設出坐標，證明k_MN•k_MB+1=0即可得到結論．
解答：（Ⅰ）解：由題設可知：，∴a=2，c=…2分
∴b²=a²-c²=2…3分
∴橢圓的標準方程為：…4分
（Ⅱ）解：設P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由可得：①…5分
由直線OM與ON的斜率之積為可得：，即x₁x₂+2y₁y₂=0②…6分
由①②可得：x_P²+2y_P²=（x₁²+2y₁²）+（x₂²+2y₂²）
∵M、N是橢圓上的點，∴x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4
∴x_P²+2y_P²=8，即…..8分
由橢圓定義可知存在兩個定點F₁（-2，0），F₂（2，0），使得動點P到兩定點距離和為定值4；….9分；
（Ⅲ）證明：設M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0，x₁≠x₂，A（x₁，0），N（-x₁，-y₁）…..10分
由題設可知l_AB斜率存在且滿足k_NA=k_NB，∴…．③
k_MN•k_MB+1=+1④…12分
將③代入④可得：k_MN•k_MB+1=+1=⑤….13分
∵點M，B在橢圓上，∴k_MN•k_MB+1==0
∴k_MN•k_MB+1=0
∴k_MN•k_MB=-1
∴MN⊥MB…14分．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查軌跡方程的求法，考查學生的計算能力，考查分析解決問題的能力．