Question

（本大題18分）

閱讀下面所給材料：已知數列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n–1+2，求數列的通項a_n。

解：令a_n=a_n–1=x，則有x=3x+2，所以x= –1，故原遞推式a_n=3a_n–1+2可轉化為：

a_n+1=3（a_n–1+1），因此數列{a_n+1}是首項為a₁+1，公比為3的等比數列。

根據上述材料所給出提示，解答下列問題：

已知數列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n–1+4，

（1）求數列的通項a_n；并用解析幾何中的有關思想方法來解釋其原理；

（2）若記S_n=，求S_n;

（3）若數列{b_n}滿足：b₁=10，b_n+1=100，利用所學過的知識，把問題轉化為可以用閱讀材料的提示，求出解數列{b_n}的通項公式b_n。

Answer 1

（1） 令a_n=a_n–1=x，則有x=3x+4，所以x= –2，故原遞推式a_n=3a_n–1+4可轉化為：

a_n+2=3（a_n–1+2），因此數列{a_n+2}是首項為a₁+2，公比為3的等比數列。

所以a_n+2=（a₁+2）´3^n–1，所以a_n=3ⁿ–2；…………………………………………2分

對于a_n=3a_n–1+4，可以看成把直線y=3x+4的方程改寫成點斜式方程，

該點就是它與直線y=x的交點。……………………………………………………4分

（2）令d_k==

=（）²=（）²（–）……………………………7分

S_n==d₁+d₂+……+d_n

=（）²[（）+（）+（）+……+（）]

=（）²[]………………………………………………………………10分

S_n=（）²……………………………………………………………………12分

（3）數列{b_n}滿足：b₁=10，b_n+i=100，所以b_n>0，lg b_n+i =lg（100）

令c_n=lgb_n，則c_n+1=3c_n+2，………………………………………………………14分

所以c_n+2=3（c_n–1+2），因此數列{c_n+2}是首項為c₁+2，公比為3的等比數列。

所以c_n+2=（c₁+2）´3^n–1，所以c_n=3ⁿ–2，…………………………………………16分

lg b_n=c_n=3ⁿ–2；b_n=…………………………………………………………18分