Question

已知定義在上的函數和數列滿足下列條件：
，，當且時，且．
其中、均為非零常數．
（1）若數列是等差數列，求的值；
（2）令，若，求數列的通項公式；
（3）試研究數列為等比數列的條件，并證明你的結論．

Answer 1

，數列是一個公比為的等比數列，若

解：（1）由已知，，得
 
由數列是等差數列，得 
所以，，，得．………………………3分
（2）由，可得

且當時，
所以，當時，
，
因此，數列是一個公比為的等比數列．…………………………………………7分
（3）解答一：寫出必要條件，如，由（1）知，當時，數列是等差數列，
所以是數列為等比數列的必要條件．
解答二：寫出充分條件，如或等，并證明
解答三：是等比數列的充要條件是
充分性證明：
若，則由已知，得

所以，是等比數列．
必要性證明：若是等比數列，由（2）知，
，．
當時，．
上式對也成立，所以，數列的通項公式為：
．
所以，當時，數列是以為首項，為公差的等差數列．
所以，．
當時，．  
上式對也成立，所以，

所以，．
即，等式對于任意實數均成立．
所以，．……………………………………………………………13分