Question

【題目】某工廠的一臺某型號機器有2種工作狀態：正常狀態和故障狀態.若機器處于故障狀態，則停機檢修.為了檢查機器工作狀態是否正常，工廠隨機統計了該機器以往正常工作狀態下生產的1000個產品的質量指標值，得出如圖1所示頻率分布直方圖.由統計結果可以認為，這種產品的質量指標值服從正態分布，其中近似為這1000個產品的質量指標值的平均數，近似為這1000個產品的質量指標值的方差（同一組中的數據用該組區間中點值為代表）.若產品的質量指標值全部在之內，就認為機器處于正常狀態，否則，認為機器處于故障狀態.

（1）下面是檢驗員在一天內從該機器生產的產品中隨機抽取10件測得的質量指標值：

29 45 55 63 67 73 78 87 93 113

請判斷該機器是否出現故障？

（2）若機器出現故障，有2種檢修方案可供選擇：

方案一：加急檢修，檢修公司會在當天排除故障，費用為700元；

方案二：常規檢修，檢修公司會在七天內的任意一天來排除故障，費用為200元.

現需決策在機器出現故障時，該工廠選擇何種方案進行檢修，為此搜集檢修公司對該型號機器近100單常規檢修在第i（，2，…，7）天檢修的單數，得到如圖2所示柱狀圖，將第i天常規檢修單數的頻率代替概率.已知該機器正常工作一天可收益200元，故障機器檢修當天不工作，若機器出現故障，該選擇哪種檢修方案？

附：，，.

Answer 1

【答案】（1）可判斷該機器處于故障狀態；（2）選擇加急檢修更為適合

【解析】

（1）由圖1可估計1000個產品的質量指標值的平均數和方差，所以，，從而得到產品的質量指標值允許落在的范圍為（28.87，111.13），由于抽取產品質量指標值出現了113，不在（28.87，111.13）之內，故機器處于故障狀態；
（2）方案一：工廠需要支付檢修費和損失收益之和為700＋200＝900元；方案二：設損失收益為元，求出的可能值，然后由圖2可得出每個的取值所對應的概率，求出數學期望，可得工廠需要支付檢修費和損失收益之和，與900對比，即可得出結論.

（1）由圖1可估計1000個產品質量指標值的平均數和方差分別為

，

，

依題意知，，，

所以，，

所以產品質量指標值允許落在的范圍為，

又抽取產品質量指標值出現了113，不在之內，

故可判斷該機器處于故障狀態；

（2）方案一：若安排加急檢修，工廠需要支付檢修費和損失收益之和為元；

方案二：若安排常規檢修，工廠需要要支付檢修費為200元，

設損失收益為X元，則X的可能取值為200，400，600，800，1000，1200，1400，

X的分布列為：

X	200	400	600	800	1000	1200	1400
P	0.07	0.18	0.25	0.20	0.15	0.12	0.03

元；

故需要支付檢修費和損失收益之和為元，

因為，所以當機器出現故障，選擇加急檢修更為適合.