【題目】已知
是拋物線
上一點，經過點
的直線
與拋物線
交于
、
兩點（不同于點
），直線
、
分別交直線
于點
、
.
（1）求拋物線方程及其焦點坐標；
（2）求證：以
為直徑的圓恰好經過原點.
【答案】（1）拋物線方程為
，焦點坐標為
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）將點
的坐標代入拋物線
的方程，求出
的值，可得出拋物線的方程，并求出拋物線的焦點坐標；
（2）設
，
，
、
，設直線
的方程為
，其中
，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，利用向量共線求出點
、
的坐標，然后將韋達定理代入
，利用向量數量積的坐標運算計算出
，即可證明出結論成立.
（1）將
代入
，得
，因此，拋物線方程為，焦點坐標為；
（2）設，，、.
因為直線不經過點，所以直線一定有斜率，設直線方程為
，
與拋物線方程聯立得到
，消去
，得
，
則由韋達定理得
，
.
，
，
，
，即
，
顯然，
，
，
，
則點
，同理可求得點的坐標為
，
所以，
，
，因此，以
為直徑的圓過原點.
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【題目】在研究吸煙與患肺癌的關系中，通過收集數據、整理分析數據得“吸煙與患肺癌有關”的結論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結論是成立的，下列說法中正確的是（ ）
A.100個吸煙者中至少有99人患有肺癌
B.1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌
C.在100個吸煙者中一定有患肺癌的人
D.在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核.記
表示學生的考核成績，并規定
為考核優秀.為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：
（Ⅰ）從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據圖中數據，估計這名學生考核優秀的概率；
（Ⅱ）從圖中考核成績滿足
的學生中任取3人，設
表示這3人中成績滿足
的人數，求的分布列和數學期望；
（Ⅲ）根據以往培訓數據，規定當
時培訓有效.請根據圖中數據，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，一輛汽車從
市出發沿海岸一條直公路以
的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在市南偏東方向距市
且與海岸距離為
的海上
處有一快艇與汽車同時出發，要把一份稿件送給這輛汽車的司機.
（1）快艇至少以多大的速度行駛才能把稿件送到司機手中？
（2）在（1）的條件下，求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與
所成的角.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）
圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x（單位：元）。
（Ⅰ）將y表示為x的函數；
（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學大學畢業后，決定利用所學專業進行自主創業，經過市場調查，生產一小型電子產品需投入固定成本2萬元，每生產
萬件，需另投入流動成本
萬元，當年產量小于
萬件時，
（萬元）；當年產量不小于7萬件時，
（萬元）.已知每件產品售價為6元，假若該同學生產的商品當年能全部售完.
（1）寫出年利潤
（萬年）關于年產量（萬件）的函數解析式；（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）
（2）當年產量約為多少萬件時，該同學的這一產品所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？
（取
）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高三年級學生為了慶祝教師節,同學們為老師制作了一大批同一種規格的手工藝品，這種工藝品有
兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響，若
項技術指標達標的概率為
項技術指標達標的概率為
，按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的工藝品為合格品.
（1）求一個工藝品經過檢測至少一項技術指標達標的概率；
（2）任意依次抽取該工藝品4個，設
表示其中合格品的個數，求的分布列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，由一塊扇形空地
，其中
，
米，計劃在此扇形空地區域為學生建燈光籃球運動場，
區域內安裝一批照明燈，點
、
選在線段
上（點、分別不與點
、
重合），且
.
（1）若點在距離點
米處，求點、之間的距離；
（2）為了使運動場地區域最大化，要求面積盡可能的小，記
，請用
表示的面積
，并求的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某課題小組共10人，已知該小組外出參加交流活動次數為1，2，3的人數分別為3，3， 4，現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．
（1）記“選出2人外出參加交流活動次數之和為4”為事件A，求事件A發生的概率；
（2）設X為選出2人參加交流活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望．
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