Question

已知焦點在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點 為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線對稱．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線經過M（－2，0）及AB的中點，求直線在軸上的截距b的取值范圍．（12分）

Answer 1

解析：（1）當表示焦點為的拋物線；（2）當時，，表示焦點在x軸上的橢圓；（3）當a>1時，，表示焦點在x軸上的雙曲線. （1設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0∵該直線與圓相切，∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．故設雙曲線C的方程為．

又雙曲線C的一個焦點為，∴，．∴雙曲線C的方程為:.

（2）由得．令

∵直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f(x)=0在上有兩個不等實根．

因此，解得．又AB中點為，

∴直線l的方程為：． 令x=0，得．

∵，∴，∴．