Question

已知函數f（x）=|1-

1

x

|，（x＞0）
（1）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求證：a+b=2ab
（2）是否存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]？若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分x≥1時和x＜1時，根據絕對值的性質，可根據絕對值的定義，可將函數的解析式化為分段函數的形式，進而分析函數的單調性，結合函數的單調性證得結論
（2）根據（1）中結論，分①當a、b∈（0，1）時，②當a、b∈（1，+∞）時，③當a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，三種情況討論a，b的存在性，最后綜合討論結果，可得答案．

解答：解：（1）∵x＞0，
當x≥1時，1-

1

x

≥0，f（x）=|1-

1

x

|=1-

1

x

，
當x＜1時，1-

1

x

＜0，f（x）=|1-

1

x

|=

1

x

-1，
∴f(x)=

1- 1 x (x≥1) 1 x -1(0＜x＜1)

，
所以f（x）在（0，1）內遞減，在（1，+∞）內遞增．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）?0＜a＜1＜b，
∴

1

a

-1=1-

1

b

即

1

a

+

1

b

=2．
∴2ab=a+b…（4分）
（2）不存在滿足條件的實數a，b．
∵f(x)=

1- 1 x (x≥1) 1 x -1(0＜x＜1)

①當a、b∈（0，1）時，f(x)=

1

x

-1在（0，1）內遞減，
∴

f(a)=b f(b)=a

?

1 a -1=b 1 b -1=a

?a=b，所以不存在．         …（7分）
②當a、b∈（1，+∞）時，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）內遞增，
∴

f(a)=a f(b)=b

?a，b是方程x²-x+1=0的根．
而方程x²-x+1=0無實根．所以不存在．               …（10分）
③當a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，f（x）在（a，1）內遞減，在（1，b）內遞增，
所以f（1）=a?a=0，
由題意知a≠0，所以不存在．                            …（12分）

點評：本題考查的知識點是帶絕對值的函數，其中根據絕對值的定義去掉絕對值符號，將函數的解析式化為分段函數的形式是解答的關鍵．