Question

數列{a_n}中，a_n＞0，a₁=1且3a

2 n+1

+2a_n+1a_n-a

2 n

=0，則a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1的值為（　　）

• A．

  9

  8

  [1-（

  1

  3

  ）^2n-1]
• B．

  9

  8

  [1-（

  1

  3

  ）ⁿ]
• C．

  9

  8

  [1-（

  1

  9

  ）^2n-1]
• D．

  9

  8

  [1-（

  1

  9

  ）ⁿ]

Answer 1

分析：由于3a

2 n+1

+2a_n+1a_n-a

2 n

=0，可得（3a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=0，又a_n＞0，于是3a_n+1-a_n=0．因此數列{a_n}是等比數列，利用其通項公式可得a_n．可得數列{a_2n-1}是等比數列，利用其前n項和公式即可得出．

解答：解：∵3a

2 n+1

+2a_n+1a_n-a

2 n

=0，
∴（3a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=0，
又a_n＞0，∴3a_n+1-a_n=0．
∴

an+1

an

=

1

3

．
∴數列{a_n}是以a₁=1為首項，

1

3

為公比的等比數列．
∴an=1×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-1．
∴數列{a_2n-1}是以a₁=1為首項，

1

9

為公比的等比數列．
∴a2n-1=(

1

9

)n-1．
∴a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=

1-( 1 9 )n

1- 1 9

=

9

8

[1-(

1

9

)n]．
故選D．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式，屬于中檔題．