Question

本題A、B、C三個選答題，請考生任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．
A．（不等式選講選做題）若不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集為∅，則m的取值范圍為

（-∞，

1

3

]

．
B．（幾何證明選講選做題）如圖所示，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D．過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF=3，FB=1，EF=

3

2

，則線段CD的長為

4

3

．
C．（極坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，ρ（2，

π

3

）的直角坐標是

(1，

3

)

．

Answer 1

分析：A．由題意可得|x-1|+|x-m|的最小值|m-1|＞2m，即m-1＞2m，或 m-1＜-2m，由此求得m的取值范圍．
B．由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，設DC=x，則AD=4x，再由切割線定理，BD²=CD•AD求解．
C．直接根據公式 x=ρcosθ，y=ρsinθ，把點的極坐標化為直角坐標．

解答：解：A．∵不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集為∅，而由絕對值的意義可得|x-1|+|x-m|的最小值為|m-1|，
∴|m-1|＞2m，∴m-1＞2m，或 m-1＜-2m． 解得 m≤

1

3

，
故答案為 （-∞，

1

3

]．
B．由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=

3

2

×FC，FC=2，在△ABD中，AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=

8

3

，
設DC=x，則AD=4x，再由切割線定理，BD²=CD•AD，即x•4x=（

8

3

）²，解得 x=

4

3

，
故答案為：

4

3

．
C．在極坐標系中，∵點的極坐標 ρ（2，

π

3

），設它的直角坐標（x，y），
則 x=2cos

π

3

=1，y=2sin

π

3

=

3

，故設它的直角坐標（1，

3

），
故答案為 （1，

3

）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，直線與圓的位置關系，相交弦定理，切割線定理，相似三角形的概念、判定與性質，點的極坐標化為直角坐標的方法，屬于基礎題．