Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2.

(1)求該四棱錐P-ABCD的表面積和體積；

(2)求該四棱錐P-ABCD內切球的表面積.

Answer 1

【答案】(1) S＝8＋4，，V＝ (2) (24－16)π.

【解析】

(1) 四個側面都是直角三角形，進而求出邊長，即可求得側面積，底面是正方形，二者相加即可求出表面積，PD⊥平面ABCD，故四棱錐的高為，再由棱錐的體積公式求出體積；

(2) 設內切球的半徑為r，球心為O，根據等體積法求出內切球的半徑，則由即可求得半徑,進而求出內切球的表面積.

(1) 解：（1）由已知底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，

，得PD⊥AD，PD⊥AB，AD⊥AB．

又，∴AB⊥平面PAD，∴PA⊥AB，∴PAPB

∴

同理

∴

．

S＝8＋4，，V＝

（2）設內切球的半徑為r，球心為O，

則球心O到平面PAB，平面PAD，平面PCB，平面PCD，平面ABCD的距離均為r，

由可得

∴

∴.

∴r＝2－，S＝(24－16)π.