Question

橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且P F₁⊥F₁F₂，| P F₁|=，| P F₂|=。

（I）求橢圓C的方程；

（II）若直線L過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線L的方程。

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ) ＝1. (Ⅱ) 8x－9y+25=0.

【解析】本試題主要考查了橢圓方程的求解直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

（1）)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,

從而b²=a²－c²=4,所以橢圓C的方程為＝1.

（2）已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.

   設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由題意x₁x₂且

         ①         ②

點(diǎn)差法得到結(jié)論。

解法一：(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,

從而b²=a²－c²=4,所以橢圓C的方程為＝1.

(Ⅱ)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.   由圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.   從而可設(shè)直線l的方程為   y=k(x+2)+1,

代入橢圓C的方程得  （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.   所以   解得，

所以直線l的方程為   即8x-9y+25=0.   (經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意)

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.

   設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由題意x₁x₂且

         ①         ②

由①－②得              ③

因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，即直線l的斜率為，

所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)