Question

【題目】已知函數，為常數，且.

（1）證明函數的圖象關于直線對稱；

（2）當時，討論方程解的個數；

（3）若滿足，但，則稱為函數的二階周期點，則是否有兩個二階周期點，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）略；（2）當或時，方程有2個解；當時，方程有3個解；當時，方程有4個解；（3）只有是二階周期點.

【解析】

（1）根據函數對稱的性質即可證明函數的圖像關于直線對稱。

（2）當時，求出的表達式，利用數形結合得到結論。

（3）根據階周期點的定義，分別求滿足條件的，即可得到結論。

（1）證明：設點為上任意一點，則

所以，函數的圖像關于直線對稱。

（2）當時

，

所以，當時，方程有個解；時，方程有個解；當時，方程有個解；當時，方程有個解。

綜上：當或時，方程有個解；當時，方程有個解；當時，方程有個解。

（3）因為 ，

所以當，

若，即，

若，即 ，

當，同理可得：

時，；

時，.

所以 ，

從而由得 ，

又 ，

，

，

所以只有是二階周期點。