Question

閱讀下列材料，然后解答問題；對于任意實數x，符號[x]表示“不超過x的最大整
數”，在數軸上，當x是整數，[x]是x，當x不是整數時，[x]是x左側的第一個整數，這個函數叫做“取整函數”，也叫高斯（Gauss）函數，如[-2]=-2、[-1.5]=-2、[2.5]=2  定義函數{x}=x-[x]，給出下列四個命題；
①函數[x]的定義域是R，值域為[0，1]；
②方程{x}=

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2

有無數個解；
③函數{x}是周期函數；
④函數{x}是增函數．
其中正確命題的序號是

 

（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：通過舉反例，可得①④不正確，通過x=1.5，2.5，3.5，4.5，…時，函數{x}的值都是

1

2

，說明②③正確．

解答：解：①不正確，如x=8.8時，[x]=8，顯然函數的值域不是[0，1]．
②正確，由于函數{x}=x-[x]的值域是[0，1），
當x=1.5，2.5，3.5，4.5，…時，都是此方程{x}=

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2

的解．
由②知，函數{x}是周期函數，故③正確．
④不正確，如x=1.5，2.5，3.5，4.5，…時，函數{x}的值都是

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2

，故不是增函數．
綜上，②③正確，
故答案為 ②③．

點評：本題考查新定義函數 {x}=x-[x]的意義，通過舉反例來說明某個命題的正確性，是一種簡單有效的方法．