Question

【題目】如圖，正方體，則下列四個(gè)命題:

①點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積不變

②點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線與平面所成角的大小不變

③點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，二面角的大小不變

④點(diǎn)是平面上到點(diǎn)和距離相等的動(dòng)點(diǎn)，則的軌跡是過點(diǎn)的直線.

其中的真命題是（ ）

A.①③B.①③④C.①②④D.③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①由正方體的性質(zhì)，易知平面，因此直線上的點(diǎn)到平面的距離不變，又的面積不變，所以體積不變.②點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，的大小在改變，所以直線與平面所成角的大小改變，③點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，兩面的位置不變，所以二面角的大小不變.④用向量法來判斷，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由的方程來判斷.

①由正方體的性質(zhì)可得:，于是平面，因此直線上的點(diǎn)到平面的距離不變，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，又的面積不變，因此三棱錐的體積不變.

②點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，由①可知:直線上的點(diǎn)到平面的距離不變，而的大小在改變，因此直線與平面所成角的大小改變，故不正確.

③點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，由①可知:點(diǎn)到平面的距離不變，點(diǎn)到的距離不變，可得二面角的大小不變，正確；

④如圖所示，

不妨設(shè)正方體的棱長為，，，設(shè)，∵，則，化為，因此的軌跡是過點(diǎn)的直線，正確.

其中真命題是①③④.

故選：B