Question

已知橢圓的中心是坐標原點O，它的短軸長為2，右焦點為F，直線l：x=2與x軸相交于點E，

FE

=

OF

，過點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，點C和點D在l上，且AD∥BC∥x軸．
（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（Ⅱ）求證：直線AC經過線段EF的中點．

Answer 1

分析：（I）設出橢圓的標準方程，根據短軸長求得b，進而根據

FE

=

OF

聯立方程組，求得a和c，則橢圓的方程和離心率可得．
（II）根據F和E的坐標，求得N的坐標，當AB⊥x軸時A，B，C的坐標可知，進而求得AC中點的坐標，判斷出AC經過線段EF的中點N；當AB不垂直x軸時，則直線AB斜率存在，設直線AB的方程為y=k（x-1），分別表示出AN和CN的斜率，進而表示出兩斜率之差求得結果為0，可知k₁=k₂且AN，CN有公共點N，進而可知A，C，N三點共線．推斷出直線AC經過線段EF的中點N．最后綜合可得結論．

解答：解：（I）設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由2b=2得b=1．
又

FE

=

OF

，∴

a2-c2=1 c= a2 c -c.

解得 a=

2

，c=1．
∴橢圓方程為：

x2

2

+y2=1．
離心率 e=

c

a

=

2

2

．
（II）∵點F（1，0），E（2，0），∴EF中點N的坐標為 (

3

2

，0)．
①當AB⊥x軸時，A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
那么此時AC的中點為 (

3

2

，0)，即AC經過線段EF的中點N．
2當AB不垂直x軸時，則直線AB斜率存在，
設直線AB的方程為y=k（x-1），
由（*）式得 x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．
又∵x₁²=2-2y₁²＜2，得 x1-

3

2

≠0，
故直線AN，CN的斜率分別為 k1=

y1

x1- 3 2

=

2k(x1-1)

2x1-3

，k2=

y2

2- 3 2

=2k(x2-1)，
∴k1-k2=2k•

(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)

2x1-3

．
又∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4，
=

1

1+2k2

[12k2-4(k2-1)-4(1+2k2)]=0．
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂．
且AN，CN有公共點N，∴A，C，N三點共線．
∴直線AC經過線段EF的中點N．
綜上所述，直線AC經過線段EF的中點．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程．涉及了直線與橢圓的關系，在設直線方程的時候，一定要考慮斜率不存在時的情況，以免答案不全面．